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如何理解系综理论?

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题主你好。系综理论是统计物理的基本理论。一般来说,一个多粒子系统可以在相空间下描述其系统状态。对于经典粒子系统来说,用坐标和动量就可以完全确定系统的状态。我们做一个假设,叫“历经各态假设”:在足够长时间内,系统的粒子将游遍所有可能的状态。那么我们可以把每一个状态下的粒子系统通过"拍照片"的方式来保留下来,这么多张"照片"就构成了一个系综。根据这些照片记录的粒子状态,我们可以统计出该粒子系统服从什么样的统计规律。这就是经典系综理论。

对于量子系统来说,情况则变得相对复杂。因为这时候粒子系统的状态是由系统的波函数来描述的。多粒子体系的状态其实是存在纯态和混态之分的,一般来说统计物理考虑的是纯态。仿照前面的做法,也假定足够长时间内,粒子系统可以遍历所有可能的状态。同样给每一个系统状态"拍一张照片"来保存下来。这些"照片"就构成了量子系综。

注意,这里仅仅是用“拍照片”来作比喻。系综的严格定义是:在一定的宏观条件下,性质和结构完全相同的、但处于各种不同运动状态的且彼此独立的大量系统的集合。换句话来说,我们既可以每时每刻盯着系统看着它演化到的各个状态,也可以在一个时刻下,将系统所有的状态罗列到一起形成系综。前者是动力学的思考方式,后者是统计物理的唯象方法。两者的联系和区别何在呢?对于平衡态系统,有一个很形象的比喻:一个人分十次买十张彩票的中奖率等于他一次买十张彩票的中奖率。前者很明显是动力学思考方式,而后者则是系综理论。但是对于非平衡态系统来说,二者就有一些区别了。这是因为非平衡态系统的各个状态之间并非是相互独立的,前一时刻的系统状态直接影响后一时刻的系统状态——类似于马尔科夫过程。平衡态统计物理是目前统计物理里比较成熟的理论,而非平衡态统计物理则还处于发展之中。

系综(ensemble)理论是由美国物理学家吉布斯最早提出的。

「系综」这个词来源于法语,本身就具有合唱团、全套家具等含义,它的概念类似于我们常说的「集合」。由于「系统」本身是「粒子」的集合,而吉布斯关心的是「系统」相关的统计分布,他因此提出了「系综」的概念,「系综」可以看成是描述「系统」的集合。

例如我们看一个教室里面的学生的统计,这就是对个体的统计,而如果我们对一个学校的全部班级来做统计,这就是对系统来做统计。一大堆具有相似性质的系统,它们构成了「系综」,系综内的系统可以有微小的差别,这些系统可以处在不同的状态,而系综正描述了这些不同的系统的状态的分布。

当我们关注系统的内部细节,我们会很在意一些相互作用上的细节差异,而当我们关注一大堆相似的系统时,个体间不管存在怎样的相互作用都是可以考虑的了。所以说吉布斯的做法是比直接对粒子直接进行统计更为普遍的一种方式,这种描述方式也可以更好地推广到量子力学的情况。

还是用教室的例子来进行说明,麦克斯韦—玻尔兹曼所描述的是教室里人运动速度的分布,而吉布斯的描述是全学校(系综)所有教室(系统)状态的分布。对于一个宏观系统,所有可能的微观状态数是天文数字。如果我们要求一个系统的某个热力学量(例如一个教室在下课期间的平均人数),我们当然可以只关心这一个系统(只关注这一个教室),对这个系统的该物理量进行长时间的平均;而系综理论还告诉我们,我们也可以对系综里所有的系统来进行平均(全校所有教室下课时的平均人数),单个体系的时间平均应该与系综平均等价。

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